তথ্যসারির প্রতিটি তথ্যমান হতে উহার গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের সমষ্টি কত?

পরিসংখ্যানে, গাণিতিক গড় (Arithmetic Mean) একটি কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ। তথ্যসারির প্রতিটি তথ্যমান (data point) থেকে এর গাণিতিক গড়ের ব্যবধান (deviation) বলতে সেই তথ্যমান এবং গড়ের মধ্যে পার্থক্য বোঝায়। অর্থাৎ, কোনো তথ্যমান \(x_i\) হলে এবং গাণিতিক গড় \(\bar{x}\) হলে, ব্যবধানটি হলো \((x_i - \bar{x})\)।

পরিসংখ্যানের একটি মৌলিক ধর্ম (fundamental property) অনুযায়ী, তথ্যসারির প্রতিটি তথ্যমান হতে উহার গাণিতিক গড়ের ব্যবধানসমূহের সমষ্টি (sum of deviations) সর্বদা শূন্য হয়।

এর গাণিতিক প্রমাণ নিচে দেওয়া হলো:

ধরা যাক, একটি তথ্যসারিতে \(n\) সংখ্যক তথ্যমান আছে, যা হলো \(x_1, x_2, ..., x_n\)।

এই তথ্যসারির গাণিতিক গড় \(\bar{x}\) হলো:

\(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\)

প্রতিটি তথ্যমান থেকে গড়ের ব্যবধানের সমষ্টি হলো:

\(\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})\)

এই সমষ্টিকে আমরা নিম্নোক্তভাবে ভাঙতে পারি:

\(\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x}\)

আমরা জানি যে, \(\sum_{i=1}^{n} x_i = n\bar{x}\) (গড়ের সংজ্ঞা থেকে)

এবং, যেহেতু \(\bar{x}\) একটি ধ্রুবক (constant), \(\sum_{i=1}^{n} \bar{x} = n\bar{x}\)

সুতরাং, আমরা পাই:

\(\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = n\bar{x} - n\bar{x} = 0\)

অতএব, তথ্যসারির প্রতিটি তথ্যমান হতে উহার গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের সমষ্টি সর্বদা ০ (শূন্য) হয়।